時間
18:30- 20:00
参加者
- zab
- 柴犬レオ
- nodomi
発表範囲
- 柴犬レオ
- 13.1 ワイエルシュトラスの定理の説明
話し合われたこと
柴犬の疑問：
関数環の定義
$X$をコンパクト距離空間, とする．$\mathcal{C}(X)$ を$X$から実数への連続写像全体の集合とする．空でない$\mathcal{A} \subset \mathcal{C}(X)$に含まれる関数$f, g \in \mathcal{A}$に対し，和・スカラー倍・積を $$ \begin{align} (f+g)(x) &:= f(x) + g(x)\tag{1}\\ (cf)(x) &:= cf(x) \tag{2}\\ (fg)(x) &:= f(x)g(x)\tag{3} \end{align} $$ で定義したとき，$\mathcal{A}$を関数環という．
において，(2)の条件は(3)で$f(x)$を定数関数$f(x)=c$としたときの特別な場合なのではないか？
結論
(1)，(3)の条件だけでは定数関数が$\mathcal{A}$かどうかはわからない． つまり，(2)の条件は必要．
たとえば定数項が0である多項式全体を$\mathcal{A}$とおくと任意の$f, g \in \mathcal{A}$ に対し，上の定義での和と積に関して$f+g, fg \in\mathcal{A}$であるが，定数関数は$\mathcal{A}$に入らない．
特に，$c\in \mathbb{R}, x \in \mathcal{A}$のとき，$cx \in \mathcal{A}$であるような集合$\mathcal{A}$を考えたいが，(1)，(3)の定義だけからは$2x \in \mathcal{A}$とはいえない．（ただし，この例では$cx$が，定数校が0である多項式全体に含まれるので$2x \in \mathcal{A}$となることはいえる．）
次回の範囲
- 柴犬レオ
- 13.2 ストーンの定理