ゼミ第6回

時間

18:30- 20:00

参加者

zab
柴犬レオ
nodomi

発表範囲

柴犬レオ
- 13.1 ワイエルシュトラスの定理の説明

話し合われたこと

柴犬の疑問：

関数環の定義

定義

$X$ をコンパクト距離空間, とする． $C (X)$ を $X$ から実数への連続写像全体の集合とする．空でない $A \subset C (X)$ に含まれる関数 $f, g \in A$ に対し，和・スカラー倍・積を $\begin{aligned} (1) & (f + g) (x) & := f (x) + g (x) \\ (2) & (c f) (x) & := c f (x) \\ (3) & (f g) (x) & := f (x) g (x) \end{aligned}$ で定義したとき， $A$ を関数環という．

において，(2)の条件は(3)で $f (x)$ を定数関数 $f (x) = c$ としたときの特別な場合なのではないか？

結論

(1)，(3)の条件だけでは定数関数が $A$ かどうかはわからない．つまり，(2)の条件は必要．

たとえば定数項が0である多項式全体を $A$ とおくと任意の $f, g \in A$ に対し，上の定義での和と積に関して $f + g, f g \in A$ であるが，定数関数は $A$ に入らない．

特に， $c \in R, x \in A$ のとき， $c x \in A$ であるような集合 $A$ を考えたいが，(1)，(3)の定義だけからは $2 x \in A$ とはいえない．（ただし，この例では $c x$ が，定数校が0である多項式全体に含まれるので $2 x \in A$ となることはいえる．）

次回の範囲

柴犬レオ
- 13.2 ストーンの定理

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