ゼミ第9回

\(U \subset \mathbb{R}^n\)とする．関数\(f ~ \colon ~ U \to \mathbb{R}\)が\(C^{r}\)級で，\(h \in U\)に対して直線\(\{x+th | 0 \leq t \leq 1 \}\)が点\(x\)の近傍に含まれるとする．このとき \[\notag \begin{align*} f(x+h) - f(x) = \mathrm{grad} f(x + \theta h) \cdot h \end{align*} \] を満たす\(\theta \in (0,1)\)が存在する．

\(U \subset \mathbb{R}^n\)とする．\(x \in U\)とする．\(u \in \mathbb{R}^n\)を単位ベクトルとする．(\(|u|=1)\) \[\notag \begin{align*} \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+hu) - f(x)}{h} \end{align*} \] が存在するならば，これを点\(x\)における\(u\)向きの\(f\)の方向微分係数という．