時間
18:00- 20:00
参加者
- zab
- 柴犬レオ
発表範囲
-
柴犬レオ
p.155-161 多変数関数に関するテイラーの定理
\(U \subset \mathbb{R}^n\)とする．関数\(f ~ \colon ~ U \to \mathbb{R}\)が\(C^{r}\)級で，\(h \in U\)に対して直線\(\{a+th | 0 \leq t \leq 1 \}\)が点\(a\)の近傍に含まれるとする．このとき \[\notag \begin{align*} f(a+h) = f(a) + \dfrac{(h \cdot \nabla) f}{1!}(a) + \dotsb + \dfrac{(h \cdot \nabla)^{r-1} f}{(r-1)!}(a) + \dfrac{(h \cdot \nabla)^r f}{r!}(a + \theta h) \end{align*} \] を満たす\(\theta \in (0 ,1)\)が存在する．
$\dfrac{(h \cdot \nabla)^r f}{r!}(a + \theta h)$の項を$r$次の剰余項という．
定理1と同じ状況で \[\notag \begin{align*} R_r(a;h) := \dfrac{(h \cdot \nabla)^r f}{r!}(a + \theta h) - \dfrac{(h \cdot \nabla)^r f}{r!}(a) \end{align*} \] とおくと \[\notag \begin{align*} \lim_{|h| \to \infty} \dfrac{R_r(a;h)}{|h|^r} = 0 \end{align*} \] である．つまり，$R_r(a;h)$は$|h|^r$よりも高位の無限小である．
$R_r(a;h)$を$r$次の誤差項という．
話し合われたこと
定理1の条件は「関数$f ~ \colon ~ U \to \mathbb{R}$が$C^{r-1}$級で，点$a \in U$において$f^{(r)}(a)$が有界である」に弱めることはできないか？
できない．$f$が$C^r$級でないと，つまり$f^{(r)}$が連続でないと$(h \cdot \nabla)^r f$が定義できない．
次回の範囲
- zab
- 極値問題(14.3)
連絡
2021年度春学期の試験期間が終わるまで，解析入門中ゼミは中断します．